求助网:几何题

问题描述：

在三角形ABC中，AB=BC=1 角ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上，D交AB于M，DF交BC于N，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。在旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若变化，请说明如何变化的？若不发生变化，求出其面积
解:(1)

问题解答：

四边形DMBN的面积不发生变化，理由如下：
连接BD,
∵AB=BC ∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°
∵D是AC的中点
∴BD是△ABC的中线
∴BD是△ABC的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=45°=∠DCB
∴BD=CD=AD
∴∠DBC=∠DAB=45°
∵∠EDF=90°=∠ADB ∠EDB为公共角
∴∠ADM=∠BDN
∴△ADM≌△BDN(ASA)
∴DM=DN.

由①可知S△ADM=S△BDN
∴S四边形DMBN=S△ADB
已知△ADB的面积是一个定值
∴四边形DMBN的面积不发生变化
∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC
∴S四边形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4