问题描述：
问题解答：
必胜客（PizzaHut）沙拉塔的堆叠方案分析
【摘要】本文通过分析必胜客沙拉塔的堆叠问题，提出一种能够使堆叠的沙拉塔体积最大化的方案，即将胡萝卜条呈放射状铺在盘子的外缘，并探出接近一半的长度，以此为底，再使用菠萝块摆在外围作为承重墙，中间摆放喜爱的内容，如此逐层提高，便可达到理想高度，从而得到理想体积。最后，本文给出了堆叠沙拉塔的图文攻略。
【关键字】必胜客，沙拉塔
1 问题提出
必胜客（PizzaHut）内有28元的自助沙拉，方法是向一只空碗内放入喜爱的各色沙拉原料。据说，国外必胜客的自助沙拉吃完是可以续添的，可是国内似乎无此规定。当然，追求尽可能多的码放是几乎每个消费者的目标。本文目的就是讨论如何才能达到这一目标，并给出一种合理可行的方法。
2 问题分析
追求码放质量的极大化，属于极值问题。
码放出来的沙拉塔形状近似是一个圆台体，在认为各材料密度近似的假设下，只需使圆台体的体积极大即可。
3 模型假设
3.1 忽略各种材料的密度差异；
胡萝卜和黄桃不是一种东西，密度自然也不相同，但是为了便于分析，将其视为同密度物质；
3.2 忽略材料之间的缝隙；
各种材料之间不可避免的会有很多空洞，虽然可以用葡萄干、玉米粒等小颗粒来填补，但是仍然会有不少空洞；这里将其忽略之；
3.3 认为沙拉塔的外形是圆台体；
因为盘子内部——即盘子边缘所在平面到盘子底部这部分容积——无论何种码放方法，都是填满内容的，所以这部分体积对不同的方法贡献相同，故不予考虑；
圆台体的形状，用通俗的话说，就是圆锥体平行于底面切去上方尖部后所剩形状。
3.4 认为萝卜条是横截面为正方形的立方柱；
横截面为正方形的立方柱，举例来说，如0.5 cm ×0.5 cm ×10cm即是。
4 模型建立
在上述假设成立的情况下，沙拉塔纵向截面图如图 4-1所示。
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图 4-1沙拉塔纵向截面图
模型建立如下：
在盘子（图 4-1中黑色部分）大小固定的情况下，使沙拉塔（图 4-1中粉黄色部分）的体积V极大化。目标函数为：
Obj： Vmax
(4-1)
5 模型计算
5.1 体积计算
将尺寸标注于图 4-1之上，得到图 5-1。 HR2R1Rγ
图 5-1沙拉塔纵向截面尺寸标注图
如图 5-1所示，R表示盘子外缘的半径，R1表示圆台体上底的半径，R2表示圆台体下底的半径，H表示圆台体的高，γ表示所示的夹角。
根据圆台体积的计算公式，有：
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)SSSS(3HV2211++=
(5-1)
其中，表示圆台体上底面积，表示圆台体下底面积，且有： 1S2S
211RSπ=， 222RSπ=
(5-2)
将(5-2)式代入(5-1)中，有
)RRRR(3HV222121++⋅=π
(5-3)
这就是所求圆台的体积。从(5-3)式可以看出，当、、H任一值增大，都会使V增大。 1R2R
显然，当和固定时，H是一个线性因子，这和习惯相符，即码放得越高，体积越大。当H固定时，和共有三种关系： 1R2R1R2R
1)，如图 5-2 (a)所示。这种形状比较稳定，易于实现。 21RR<
2)，如图 5-2 (b)所示。这种形状还算稳定，是1)的一种极限情况。 21RR=
3)，如图 5-2 (c)所示。这种形状不稳定，难以实现。 21RR>
(a) 21RR<
(b) 21RR=
(c) 21RR>
图 5-2 和的三种关系下沙拉塔的纵向截面图 1R2R
从便于操作的角度讲，我们对情况(c)不予考虑。当然，(c)未必不可实现，只是由于可操作性太差。一旦坍塌，就糗大了！
稳妥起见，这里选择情况(a)和情况(b)进行讨论，即21RR≤。
5.2 R2极大化
显然，关键在于如何使极大化。换句话说，在盘子的外缘半径R一定的情况下，如何搭建底层，使其半径极大，是使沙拉塔体积极大的关键。 2R2R
根据实际情况，可选的“建筑材料”有：胡萝卜条、菠萝块、黄桃块、苹果块、黄瓜片、沙拉酱、玉米粒、青豆、青椒圈（有的店缺）等等⋯⋯
我们采用具有最长长度的胡萝卜条作为底层的建材。根据假设，认为萝卜条是横截面为正方形的立方柱，如图 5-3 (a)所示。其横截面如图 5-3 (b)所示，是个正方形；纵截面如图 5-3 (c)所示，是个矩形。
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(a) 胡萝卜条
(b) 横截面
(c) 纵截面
图 5-3 胡萝卜条横截面和纵截面
胡萝卜条如图 5-4 (a) 呈放射状摆放，根部相接，外部探出盘子外缘一截，尺寸标注如图。其中绿色部分放大如图 5-4 (b)所示。
(a) 标注尺寸的俯视图
(b) 局部放大图
图 5-4 胡萝卜条摆放图
根据几何关系，有如下等式成立：
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2sin2θ⋅=rc
(5-4)
2tan2θ⋅=rd
(5-5)
θ⋅=re
(5-6)
当0→θ时，有
θθθ~tan~sin
(5-7)
因为实际上的θ很小，可以近似认为c、d、e相等。则可摆放胡萝卜条的数量N为：
drN/2π=
(5-8)
下面寻求r的计算表达式。显然有：
Rrl=+2
(5-9)
Lll=+21
(5-10)
设k为探出系数，有：
Llk/1=
(5-11)
代入，得：
LkRlLRlRr)1(][12−−=−−=−=
(5-12)
于是，有：
])1([2LkRdN−−=π
(5-13)
根据
2RrL=+
(5-14)
有
kLRR+=2
(5-15)
式(5-15)就是的表达式。 2R
因为要使极大化，而R和L是定值，故需要使k极大化。k的取值范围在0~1之间，根据杠杆原理，可以使萝卜条稳定在盘内，如果k>0.5，萝卜条会掉出盘子。当然可以在k>0.5的情况下，往萝卜条上压一些材料使其保持平衡，但是这种努力很容易失败，不符合我们期望找到一种简便稳妥方法的初衷，故不予考虑。 2R5.0k≤
在k=0.5的情况下，可得到极值为： 2R
5L.0RRmax 2+=
(5-16)
此时，萝卜条个数为
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]5.0[2LRdN−=π
(5-17)
6 模型验证
某日，和丹佛、Spring一同去安贞华联的PizzaHut饕餮，要了一份自助沙拉。测量了一下各参数，数值如下：
R = 16.8 cm÷2 = 8.4 cm
L = 5.5 cm
d = 0.8 cm
取k = 1/3，计算得到N = 37根，实际上也正好是37根，如图 6-1完全吻合！
接着，按照前述方法，层层摆放，因为只有3人，不想浪费，所以只摆了6层的圆台体，便收工开吃了。最后3人吃到半S，沙拉堆到了嗓子眼儿，差点P掉⋯⋯
图 6-1 胡萝卜条摆放图
7 图文攻略
摄影者： IT民工，丹佛
拍摄时间： Oct 30, 2004
拍摄地点： 学院路百盛超市必胜客店
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建筑工人： IT民工，丹佛，COZO，阿木
不得不说两句啊，不知道必胜客其他店情况如何，这次去学院路百盛超市必胜客店，发现和上次安贞华联必胜客店相比，地基材料胡萝卜条和承重墙材料菠萝块明显减肥成功！严重BS一个！
不管这许多，让我们开始吧！Are you ready？Here we go！
7.1 洗干净双手
双手是最灵巧的，洗干净它们，准备开工吧！
7.2 要一个空盘作为建筑材料集中盘
一定要向服务员要一个空盘子，用来临时盛放建筑材料。这样可以方便多人并行操作：一人挑选形状强度都合适的材料并放置在盘子内，另一人从盘子中抓取材料来堆放沙拉塔。
7.3 填满沙拉碗的底部凹坑
最喜欢吃什么？我觉得黄桃不错，所以就放了好多黄桃块填满沙拉碗的底部凹坑，又放了一些玉米粒之类的小东西塞空隙，直到接近平面。
7.4 在沙拉碗边沿按照幅射状贴萝卜条做地基
这一点真的很重要，万丈高楼平地起，没有稳定的地基，沙拉塔垒起来也不踏实。分析了参考文献中的几种方法之后，决定还是采用萝卜条来打底最合适。一定要仔细挑选健康茁壮矍铄挺拔大小相近的萝卜条！萝卜条探出的比率尽量接近0.5，这个探出系数经实践证明是比较可靠滴。萝卜条之间底部接触，顶部分散，呈辐射状，如图 7-1。为了萝卜条能够贴得结实些，需要使用适量沙拉酱做胶水，自己掌握这个度吧。
图 7-1 萝卜条打地基
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比较一下图 6-1和图 7-1这两幅图吧，一个只需要37根就搞定，而这个竟然需要52根！萝卜条缩水缩的好厉害！而且，学院路百盛超市必胜客店二楼自助沙拉区竟然没有放萝卜条！再次BS一个～～～
7.5 使用菠萝块压住萝卜条地基的内圈
如图 7-2，用菠萝块压住萝卜条地基的内圈，防止萝卜条掉出来。
萝卜条打底之后，将菠萝块作为承重墙。因为它足够结实，又呈良好的立方体形状，和黄桃块相比，它的摩擦力足够，不像黄桃块那么滑溜。菠萝块的选取原则是个头均匀，四四方方，硬一点。还有，因为泡得久了，所以它含的水分较大，在上面材料的重压之下，盘子边缘会渗水出来，小心不要滴到衣服上啦。
在这里再次抗议一下商家不要把菠萝块切的太薄了，严重影响建筑工人的施工情绪！
图 7-2 内圈菠萝块压住萝卜条
7.6 使用菠萝块压住萝卜条地基的外圈
如图 7-3，尽可能把这一圈扩大点，这就是沙拉塔圆柱体的底面了。
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图 7-3 外圈菠萝块压住萝卜条
7.7 在菠萝圈围成的凹坑内填上喜爱的材料，然后用黄瓜片覆盖，制造完美平台
如图 7-4，萝卜条打底，菠萝块承重，黄瓜片放在菠萝块上，将高低层次不齐的顶面抹平。通常1~2层黄瓜片就足够了。有了这么完美的平台，还有什么搞不定？
图 7-4 用黄瓜片搭建平台
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7.8 平台外圈围上菠萝块做承重墙
如图 7-5，作为承重墙的菠萝块一定要选择个头均匀，形状规整，强度较大的。
图 7-5 平台外圈围上菠萝块做承重墙
7.9 在承重墙内填上喜爱的材料
如图 7-6，因为菠萝块不厚道，所以承重墙是双层菠萝块，垒放更需技巧，因为不小心就会滑塌。保险起见，建议向内收一些。之后，在墙内填入喜爱的材料。三个黄瓜片就算是三个代表吧：P
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图 7-6 在承重墙内填上喜爱的材料
7.10 又一个完美平台
图 7-7是完美平台的俯视图，图 7-8是完美平台的侧视图。在这么完美的平台上搭建沙拉塔，我想，只有天空才是它的极限。
图 7-7 又一个完美平台
图 7-8 完美平台的侧面
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7.11 快要完工之前
如图 7-9，在这么完美的平台上搭建沙拉塔是一件赏心乐事，可是我们只有4人。本着不浪费的原则，我们见好就收，只搭了这么高。
图 7-9 快要完工之前
7.12 封顶
图 7-10是封顶之后沙拉塔的俯视图。好歹也是一个塔，所以加个尖尖应该没人有意见，对吧。
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图 7-10 沙拉塔封顶
图 7-11是侧视图。是的，它并不高，但是它的底面积足够大。它不高，仅仅是由于我们3人胃容积之和的限制，如果愿意，3倍当前的高度，完全没有问题。做为图文教程示范，关键步骤都已经交代清楚了，这就够了。
图 7-11 沙拉塔侧面图
7.13 按人头分食，开吃喽！
问服务员要几个空盘子，小心的将沙拉塔分食，这就没什么可说的了。千万小心，如果把胜利果实弄倒而被痛扁，我就更没话说了。
8 参考文献
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[1] 吃“必胜客”沙拉全攻略
[2] 必胜客超强吃法（一定要看图片！）
拿着那个空碗仅能盛一次，尽可能地多放。把底打得结实点儿，铺一层食物弄一层酱，就跟盖房砌墙似的
越往上越尖
想盛几次就盛几次啊 反正是算盘子的 所以你装得下就使劲装 垒得越高就越划得来 一般底下装较硬的食物 上面放较软的食物 还有垒沙拉比赛 那些人才是强啊~~!!
必胜客的员工是没有权利制止你盛沙拉的多少的
因为沙拉的规定是，只能盛取一次，但是是没有限量的，所以只要装的下，而不掉下去，店员就没有理由制止。
这个东西一定要慢慢垒，我曾经见过最高的是垒到了沙拉吧上面那个罩子上。至于怎样垒，你可以在网上搜索一下必胜客沙拉图片，有很多的
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