单调有界实数网必收敛怎么证明

发布时间:2024-11-01 07:51 发布:上海旅游网

问题描述:

问题解答:

你说的是单调有界实数列必收敛吧?这个可以用确界存在定理来证明。

确界存在定理:非空有上界的实数列必有上确界,非空有下界的实数列必有下确界。

证明:不妨设序列是单调增的。那么{Xn}的所有上界构成一个非空的实数列,它有下界(每个Xn都是一个它的一个下界),所以它必有下确界X,下证X就是{Xn}的极限。
首先有X>Xn对所有的n都成立;其次,对任意小量&,必有k使得Xk>X-&,由于Xk单调增,所以
X-&<Xn<X对任意n>k都成立,也即:
|X-Xn|<&,all n>k.
所以X就是{Xn}的极限。

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